Zadania
- Pokazać, że funkcja \(\varphi : P(A \times B) \to (B \to P(A))\) dana wzorem
\[\varphi(\Delta)(b) =\{ a \in A \mid \langle a,b \rangle \in \Delta\}\]
jest bijekcją.
- Niech \(F : \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{N})\) będzie taka, że \( F(f) = f^{-1}(\{1\}).\)
a) Czy F jest różnowartościowa i czy jest na \(P(\mathbb{N})\)?
b) Znaleźć obraz zbioru funkcji stałych.
c) Znaleźć przeciwobraz zbioru \(\{\{10\}\}\).
- Podaj przykład pary funkcji \(f, g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) spełniających wszystkie poniższe warunki:
a) \(\forall x (g(x) \neq x)\),
b) \(g \circ g\) jest identycznością na \(\mathbb{N}\),
c) \(f \circ g= f\),
d) \(f\) jest funkcją na \(\mathbb{N}\),
e) obrazem zbioru liczb naturalnych parzystych w odwzorowaniu \(g\) jest zbiór liczb naturalnych nieparzystych.
- Niech \(\varphi : (\mathbb{N} \to \mathbb{N})\to P(\mathbb{N}) \to P(\mathbb{N}))\) będzie określona tak:
\[ \varphi(f)(A) = f^{-1}(A).\]
a) Czy \(\varphi\) jest różnowartościowa?
b) Czy \(\varphi\) jest na?
Pozostałe podpunkty tego zadania. Zachęcam do ich rozwiązania.
c) Znaleźć \(\varphi^{-1}(\{ id_{P(\mathbb(N)}\})\).
d) Czy istnieje funkcja \(f \in Rg \hbox{ } \varphi\), która jest różnowartościowa?
e) Czy każda funkcja \(f \in Rg \hbox{ } \varphi\) jest różnowartościowa?
Zadania dodatkowe
- Dualną wersją zadania 1 jest zadanie 96 w zbiorze zadań.
- Podpunkty c-e w zadaniu 4.
Praca domowa
Praca domowa pojawi się w poniedziałek po południu
na stronie wykładu. Termin oddania: 4 listopada 2013 r.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz