Ćwiczenia 2: suma uogólniona, iloczyn uogólniony, iloczyn kartezjański

Zadania 

1. Pokazać, że jeśli \(A \subseteq B\), to \(\bigcap B \subseteq \bigcap A\).
2. Czy dla dowolnych niepustych \(A\), \(B\) o niepustym przecięciu zachodzą równości:
   a) \(\bigcap A \cap \bigcap B = \bigcap (A \cap B)\),
   b) \(\bigcap A \cap \bigcap B = \bigcap (A \cup B)\),
   c) \(\bigcup A \cap \bigcup B = \bigcup (A \cap B)\)?
3. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
4. Czy następująca równość zachodzi dla dowolnych niepustych rodzin \(A\), \(B\):
   \[\bigcap A \times \bigcap B = \bigcap \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in A \wedge  \beta \in B\}?\]
5. Znaleźć \(\bigcup_{t \in \mathbb{R}^+} A_t\) i \(\bigcap_{t \in \mathbb{R}^+} A_t\), gdzie \(A_t = [\sqrt{t}, \sqrt{2t}]\).
6. Funkcja \(f : P(A) \to P(A)\) jest addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy
   \[ f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y) \hbox{ dla } X, Y \subseteq A.\]
   Czy każda  funkcja addytywna ma własność \(f(X) = \bigcup_{x\in X} f(\{x\})\)?

Praca domowa

Jak zwykle, praca domowa nr 2  pojawi się na stronie wykładu w poniedziałek po południu. Termin oddania:  21 października 2013 r.

Dodatkowe zadania

Dodatkowe zadania, które można zrobić jako uzupełnienie ćwiczeń: zadanie 32, zadanie 34, zadanie 36, zadanie 37, zadanie 45. Numery zadań ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 1: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy, suma uogólniona

Zadania

1. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
   b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\) ?
2. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
   a) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\),
   b) jeśli \(A - B = A - C\), to \(B = C\).
3. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
   a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
   b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
4. Która z implikacji jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\):
   \[ A \subseteq B \hbox{ wtw. } P(A) \subseteq P(B) ? \]
5. Czy jeśli \(A \subseteq B\), to \( \bigcup A \subseteq \bigcup B\)?
   Czy jeśli \( \bigcup A \subseteq \bigcup B\), to \(A \subseteq B\)? 
6. Sprawdzić, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi
   \[ \bigcup A \cup \bigcup B = \bigcup (A \cup B) ?\]

Praca domowa

Pracy domowa nr 1. Termin oddania: 14 października 2013 r. (następne ćwiczenia).