Przypominam, że w tym tygodniu, w czwartek na wykładzie, jest
klasówka.
Twierdzenie Cantora-Bernsteina
Jeśli \(\overline{\overline{A}} \leq \overline{\overline{B}}\) i \(\overline{\overline{B}} \leq \overline{\overline{A}}\), to \(\overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}\).
W praktyce: szukamy mocy zbioru C.
- Znajdujemy dwa (być może różne) zbiory A, B takie, że \(\overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}\).
- Znajdujemy dwie funkcje różnowartościowe \(f : A \to C\) i \(g: C \to B\).
- Twierdzenie Cantora-Bernsteina mówi, że \(\overline{\overline{C}} = \overline{\overline{A}}= \overline{\overline{B}}\).
Wskazówka: dobrze jest zacząć od znalezienia
typu zbioru C. Typ zbioru C daje nam zawsze ograniczenie górne na moc zbioru C.
Przykład: Znaleźć moc zbioru C wszystkich relacji w \(\mathbb{N}\), które ...
Rozwiązanie: Zbiór wszystkich relacji w \(\mathbb{N}\) to \(P(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\). Zatem \(C \subseteq P(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\), a stąd dostajemy:
\[\overline{\overline{C}} \leq \overline{\overline{P(\mathbb{N}\times\mathbb{N})}} = \mathfrak{C}\]
I już wiemy, że moc zbioru C nie może być równa np. \(2^{\mathbb{\mathfrak{C}}}\).
Zadania
- Znaleźć moc zbioru funkcji z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
- Znaleźć moc zbioru funkcji niemalejących z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
- Znaleźć moc zbioru funkcji nierosnących z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
- Znaleźć moc zbioru wszystkich relacji równoważności w \(\mathbb{N}\).
- Znaleźć moc zbioru Cantora. Zbiór Cantora to przecięcie ciągu zbiorów:
\(C_0 = (0,1)\),
\(C_1 = (0,\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},1)\),
\(C_2= (0,\frac{1}{9}) \cup (\frac{2}{9},\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},\frac{8}{9}) \cup (\frac{8}{9},1)\),
...
\(C = \bigcap_{n\in \mathbb{N}}C_n\).
Zadanie do przemyślenia
Zadanie dla osób, które po przygotowaniu do klasówki będą się nudzić:
- Znaleźć moc zbioru wszystkich funkcji ciągłych z \(\mathbb{R}\) do \(\mathbb{R}\).
W tym tygodniu nie ma pracy domowej.