poniedziałek, 20 stycznia 2014

Ćwiczenia 12: dobre ufundowanie

Zadania

  1. Niech \(B \subseteq \mathbb{R}_{+}\). Udowodnić, że istnieje zbiór \(C \subseteq \mathbb{R}_{+}\) taki, że
    • \(\forall_{x,y \in C}(x\neq y \to | x - y | \in B\),
    • \(\forall_x (x\not \in C \to \exists y \in C | x - y | \not\in B\).
  2. Czy zbiór \(\langle \mathbb{N}^*, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
  3. Czy zbiór \(\langle \mathbb{N}^2, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
  4. Podaj trzy przykłady zbiorów dobrze uporządkowanych mocy \(\aleph_0\) tak, aby żadne dwa nie były ze sobą izomorficzne.
  5. Niech  \(\langle A, \leq \rangle\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym, w którym wszystkie antyłańcuchy są skończone. Niech \(\{a_i\}_{i\in \mathbb{N}}\) będzie dowolnym ciągiem elementów. Udowodnić, że istnieją i, j takie, że i<j i \(a_i \leq a_j\).

Praca domowa

Ostatnia praca domowa zostanie ogłoszona w poniedziałek po południu. Termin oddania: czwartek 23 stycznia 2014 r. Praca domowa zostanie zebrana na wykładzie.

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz