Ćwiczenia 2: suma uogólniona, iloczyn uogólniony, iloczyn kartezjański

Zadania 

1. Pokazać, że jeśli \(A \subseteq B\), to \(\bigcap B \subseteq \bigcap A\).
2. Czy dla dowolnych niepustych \(A\), \(B\) o niepustym przecięciu zachodzą równości:
   a) \(\bigcap A \cap \bigcap B = \bigcap (A \cap B)\),
   b) \(\bigcap A \cap \bigcap B = \bigcap (A \cup B)\),
   c) \(\bigcup A \cap \bigcup B = \bigcup (A \cap B)\)?
3. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
4. Czy następująca równość zachodzi dla dowolnych niepustych rodzin \(A\), \(B\):
   \[\bigcap A \times \bigcap B = \bigcap \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in A \wedge  \beta \in B\}?\]
5. Znaleźć \(\bigcup_{t \in \mathbb{R}^+} A_t\) i \(\bigcap_{t \in \mathbb{R}^+} A_t\), gdzie \(A_t = [\sqrt{t}, \sqrt{2t}]\).
6. Funkcja \(f : P(A) \to P(A)\) jest addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy
   \[ f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y) \hbox{ dla } X, Y \subseteq A.\]
   Czy każda  funkcja addytywna ma własność \(f(X) = \bigcup_{x\in X} f(\{x\})\)?

Praca domowa

Jak zwykle, praca domowa nr 2  pojawi się na stronie wykładu w poniedziałek po południu. Termin oddania:  21 października 2013 r.

Dodatkowe zadania

Dodatkowe zadania, które można zrobić jako uzupełnienie ćwiczeń: zadanie 32, zadanie 34, zadanie 36, zadanie 37, zadanie 45. Numery zadań ze zbioru zadań.