Ćwiczenia 3: funkcje

Zadania

1. Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji na, funkcji różnowartościowych:
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \} \to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \} \to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \} \to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \} \to \{ \cdot, \square \}\)?
2. Niech \(f: A \to B\). Pokazać, że \(f\) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru \(C\) i dla każdych funkcji \(g,h:C\to A\) zachodzi
   \[f \circ g = f\circ h \to g=h\].
   (Zobacz także Zadania dodatkowe.)
3. Podać przykład \(f : A \to B, X\subseteq A, Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(\vec{f^{-1}}(\vec{f}(X)) \neq X\),
   b) \(\vec{f}(\vec{f^{-1}}(X)) \neq X\),
   c) \(\vec{f}(C \cap D) = \vec{f}(C)\cap \vec{f}(D)\).
4. Niech \(f : P(\mathbb{N}) \times P(\mathbb{N}) \to P(\mathbb{N})\) będzie dana wzorem:
   \[f(\langle C, D \rangle) = C \cap D.\]
   a) Czy \(f\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(f\) jest na?
   c) Znaleźć obraz \(\vec{f}(P(B) \times P(B))\).
   d) Znaleźć przeciwobraz \(\vec{f^{-1}}(\{\mathbb{N}\})\).

Zadanie do kontemplacji

1. Pokazać, że funkcja \(\varphi : P(A \times B) \to (B \to P(A))\) dana wzorem
   \[ \varphi(\Delta)(b) = \{a\in A \mid \langle a,b \rangle \in \Delta\}\]
   jest bijekcją.

To zadanie zrobimy na następnych ćwiczeniach.

W tym tygodniu nie ma pracy domowej.
 

Zadania dodatkowe

Osobom, które chcą sprawdzić, czy dobrze zrozumiały rozwiązania na ćwiczeniach polecam zadanie 121 - dualna wersja zadania 2 powyżej.

Osobom odważnym polecam zadanie 129, ze wskazówką, że to tak naprawdę zaszyfrowana wersja zadania 2 i zadania 121.