Przypominam, że w tym tygodniu, w czwartek na wykładzie, jest
klasówka.
Twierdzenie Cantora-Bernsteina
Jeśli
\overline{\overline{A}} \leq \overline{\overline{B}} i
\overline{\overline{B}} \leq \overline{\overline{A}}, to
\overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}.
W praktyce: szukamy mocy zbioru C.
- Znajdujemy dwa (być może różne) zbiory A, B takie, że \overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}.
- Znajdujemy dwie funkcje różnowartościowe f : A \to C i g: C \to B.
- Twierdzenie Cantora-Bernsteina mówi, że \overline{\overline{C}} = \overline{\overline{A}}= \overline{\overline{B}}.
Wskazówka: dobrze jest zacząć od znalezienia
typu zbioru C. Typ zbioru C daje nam zawsze ograniczenie górne na moc zbioru C.
Przykład: Znaleźć moc zbioru C wszystkich relacji w
\mathbb{N}, które ...
Rozwiązanie: Zbiór wszystkich relacji w
\mathbb{N} to
P(\mathbb{N}\times\mathbb{N}). Zatem
C \subseteq P(\mathbb{N}\times\mathbb{N}), a stąd dostajemy:
\overline{\overline{C}} \leq \overline{\overline{P(\mathbb{N}\times\mathbb{N})}} = \mathfrak{C}
I już wiemy, że moc zbioru C nie może być równa np.
2^{\mathbb{\mathfrak{C}}}.
Zadania
- Znaleźć moc zbioru funkcji z \mathbb{N} do \mathbb{N}.
- Znaleźć moc zbioru funkcji niemalejących z \mathbb{N} do \mathbb{N}.
- Znaleźć moc zbioru funkcji nierosnących z \mathbb{N} do \mathbb{N}.
- Znaleźć moc zbioru wszystkich relacji równoważności w \mathbb{N}.
- Znaleźć moc zbioru Cantora. Zbiór Cantora to przecięcie ciągu zbiorów:
C_0 = (0,1),
C_1 = (0,\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},1),
C_2= (0,\frac{1}{9}) \cup (\frac{2}{9},\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},\frac{8}{9}) \cup (\frac{8}{9},1),
...
C = \bigcap_{n\in \mathbb{N}}C_n.
Zadanie do przemyślenia
Zadanie dla osób, które po przygotowaniu do klasówki będą się nudzić:
- Znaleźć moc zbioru wszystkich funkcji ciągłych z \mathbb{R} do \mathbb{R}.
W tym tygodniu nie ma pracy domowej.